Det geometriske objekt, senere kaldet "Klein-flasken", blev først beskrevet i 1882 af den tyske matematiker Felix Klein. Hvad repræsenterer han? Dette objekt (eller rettere, en geometrisk eller topologisk overflade) kan simpelthen ikke eksistere i vores tredimensionelle verden. Alle modeller, der er til salg i souvenirbutikker, har et udseende, der kun giver en vag idé om, hvad en Klein flaske er.
For større klarhed beskrives det som følger: forestil dig en flaske med en meget lang hals. Lav derefter ment alt to huller i det: et i væggen og det andet i bunden. Bøj derefter halsen, sæt den ind i hullet i væggen og før den ud gennem hullet i bunden. Det resulterende objekt vil være en projektion af et firedimensionelt rumobjekt, som er den rigtige Klein-flaske, i vores tredimensionelle rum.
Beskrivelse af Klein-flasken på sproget med matematiske termer ellerformler vil ikke sige noget til lægmanden. Vil en sådan definition tilfredsstille mange mennesker: en Klein flaske er en ikke-orienterbar manifold (eller overflade), der har en række egenskaber. Efter ordet "egenskaber" kan du bygge en lang række bestående af trigonometriske funktioner, tal og græske og latinske bogstaver. Men dette kan kun forvirre en uforberedt person, der allerede har fået en idé om, hvad projektionen af en flaske er i tredimensionelt rum.
Interessant kendsgerning: Navnet "Klein-flaske" blev givet til dette objekt, sandsynligvis på grund af en fejl eller typografisk fejl hos oversætteren. Faktum er, at Klein i sin definition brugte ordet Fläche, det vil sige "overflade" på tysk. Når man "rejste" fra Tyskland til andre lande, blev dette ord omdannet til en lignende stavemåde Flasche (flaske). Så vendte udtrykket tilbage til oprindelseslandet i en ny, ændret form og forblev det for evigt.
For mange kulturelle personer (primært science fiction-forfattere) viste sig selve udtrykket "Klein-flaske" at være attraktivt. Dens brug som en egenskab, og nogle gange hovedpersonen, er blevet et tegn på "intellektuel" fiktion. Sådan er for eksempel historien "The Last Illusionist", skrevet af Bruce Eliot. I historien slår en tryllekunstners assistent ned på sin protektor, som lavede tricks med en firedimensionel Klein-flaske. Illusionisten, der klatrede ned i flasken, forbliver halvt nedsænket i den. Ifølge forfatteren kan denne flaske ikke brydes uden at beskadige indholdet. Er det virkelig sådan - kan ikke sigeingen. I det mindste var matematikere, som måske kunne besvare dette spørgsmål, ikke forundret over det, for videnskaben er dette irrelevant.
Nogle gange fyldes specialfremstillede Klein-flasker med vin til salgsfremmende formål. Sandt nok er det teknisk vanskeligt at lave sådan en glasflaske, det kræver en ekstraklasses glaspuster. Derfor har det en ret høj pris og bruges sjældent. Og udviklingen af teknologi og produktion af sådanne flasker på en strøm giver ikke mening, for for dette vil det være nødvendigt at udarbejde metoden til at fylde flasken med væske (også her er der vanskeligheder). Og følelsen af usædvanlighed og nyhed vil hurtigt blive erstattet af ulejligheden ved at hælde vin fra sådan en flaske i glas.
